Question

如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上的一點(diǎn)（不與A、B重合），連接PD，并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PE，PE交邊BC于點(diǎn)F，連接BE、DF，∠CBE=45°，求證：DP⊥PE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：在AD上取點(diǎn)Q使得AQ=AP，可得DQ=BP，∠DQP=∠PBE，根據(jù)余弦定理可得PQ=BE，即可證明△DPQ≌△PEB，可得∠PDQ=∠BPE，即可求得∠BPE+∠DPA=90°，即可解題．

解答：證明：在AD上取點(diǎn)Q使得AQ=AP，

則∠AQP=45°，DQ=BP，∴∠DQP=135°，
∵∠CBE=45°，∴∠PBE=135°，
∵在△DPQ中，DP²=DQ²+PQ²-2PQ•DQcos∠DQP，
在△PBE中，PE²=PB²+BE²-2PB•BEcos∠PBE，
∴PQ=BE，
∵在△DPQ和△PEB中，

PD=PE BP=DQ PQ=BE

，
∴△DPQ≌△PEB，（SSS）
∴∠PDQ=∠BPE，
∵∠PDQ+∠DPA=90°，
∴∠BPE+∠DPA=90°，
∴∠DPE=90°，
∴DP⊥PE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了三角形中余弦定理的運(yùn)用，本題中求證△DPQ≌△PEB是解題的關(guān)鍵．