Question

如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過(guò)（0，0）和（，）兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，2）．

（1）求a，b，c的值；

（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，⊙P始終與x軸相交；

（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）兩點(diǎn)，當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

（1）a=，b=c=0；（2）證明見解析；（3）P的縱坐標(biāo)為0或4+2或4﹣2．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意得出二次函數(shù)一般形式進(jìn)而將已知點(diǎn)代入求出a，b，c的值即可；

（2）設(shè)P（x，y），表示出⊙P的半徑r，進(jìn)而與 x2比較得出答案即可；

（3）分別表示出AM，AN的長(zhǎng)，進(jìn)而分別利用當(dāng)AM=AN時(shí)，當(dāng)AM=MN時(shí)，當(dāng)AN=MN時(shí)，求出a的值，進(jìn)而得出圓心P的縱坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過(guò)（0，0）和（，）兩點(diǎn)，

∴拋物線的一般式為：y=ax2，

∴=a（）2，

解得：a=±，

∵圖象開口向上，∴a=，

∴拋物線解析式為：y=x2，

故a=，b=c=0；

（2）設(shè)P（x，y），⊙P的半徑r=，

又∵y=x2，則r=，

化簡(jiǎn)得：r=＞x2，

∴點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，⊙P始終與x軸相交；

（3）設(shè)P（a，a2），∵PA=，

作PH⊥MN于H，則PM=PN=，

又∵PH=a2，

則MH=NH==2，

故MN=4，

∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），

又∵A（0，2），∴AM=，AN=，

當(dāng)AM=AN時(shí)，=，

解得：a=0，

當(dāng)AM=MN時(shí)，=4，

解得：a=2±2（負(fù)數(shù)舍去），則a2=4+2；

當(dāng)AN=MN時(shí)，=4，

解得：a=﹣2±2（負(fù)數(shù)舍去），則a2=4﹣2；

綜上所述，P的縱坐標(biāo)為0或4+2或4﹣2．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．