Question

9．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c過點A（3，0）、B（2，3），其頂點為M．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上找一點P，使△PAB的周長最小，求出點P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在一點Q，使△AMQ的面積為8？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，根據(jù)待定系數(shù)法列式求解即可；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為C，連接BC，交對稱軸與P，此時△PAB的周長最小；先求得對稱軸，然后求得C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，把x=1代入即可求得P的坐標(biāo)；
（3）先求得三角形AMC的面積=8，然后過C作AM的平行線，平行線與拋物線的交點即為Q點，求得直線AM的解析式，進(jìn)而設(shè)出平行線的解析式，利用待定系數(shù)法即可求得，然后與拋物線的解析式聯(lián)立方程，解方程組即可求得交點Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（3，0）、B（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式是：y=-x²+2x+3；
（2）如圖，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為C，連接BC，交對稱軸與P，此時△PAB的周長最��；
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴對稱軸為x=1，
∵A（3，0），
∴C（-1，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{2m+n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x+1，
把x=1代入得，y=1+1=2，
∴P（1，2）；
（3）存在；
理由：∵S_△AMC=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
過C作AM的平行線，平行線與拋物線的交點即為Q點，
∵A（3，0），M（1，4），
根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AM的解析式為y=-2x+6，
∴設(shè)過C作AM的平行線的解析式為y=-2x+k，
把C的坐標(biāo)代入，解得k=-2，
∴平行線的解析式為y=-2x-2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=5}\\{{y}_{2}=-12}\end{array}\right.$
∴Q點的坐標(biāo)為（-1，0）或（5，-12）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題等，待定系數(shù)法是本題的關(guān)鍵．