Question

10．如圖，A、B、C、D四點(diǎn)在⊙O上，BD為⊙O的直徑，AE⊥CD于點(diǎn)E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若∠DBC=30°，DE=2cm，求BD的長；
（3）若3DE=DC，4DE=BC，AD=5，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OA，如圖，先證明OA∥CD，再由AE⊥CD得到OA⊥AE，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由圓周角定理得到∠C=90°，則∠BDC=90°-∠DBC=60°，利用平角定理可計(jì)算出∠1=∠2=60°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△ADE中計(jì)算出AD=2DE=4，然后利用△OAD為等邊三角形得到OD=AD=4，所以BD=2OD=8cm；
（3）設(shè)DE=x，則BC=4x，CD=3x，利用勾股定理得到BD=5x，再由BD為直徑得到∠BAD=90°，接著證明Rt△ADE∽R(shí)t△BDA，然后利用相似比得$\frac{5}{5x}$=$\frac{x}{5}$，則可求出x的值，從而得到BD的長．

解答 （1）證明：連結(jié)OA，如圖，
∵DA平分∠BDE，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OA∥CD，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；
（2）解：∵BD為直徑，
∴∠C=90°，
∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-30°=60°，
∴∠1=∠2=60°，
在Rt△ADE中，∵∠4=30°，
∴AD=2DE=4，
∵∠1=60°，OA=OD，
∴△OAD為等邊三角形，
∴OD=AD=4，
∴BD=2OD=8cm；
（3）解：設(shè)DE=x，則BC=4x，CD=3x，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5x，
∵BD為直徑，
∴∠BAD=90°，
而∠1=∠2，
∴Rt△ADE∽R(shí)t△BDA，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DE}{AD}$，即$\frac{5}{5x}$=$\frac{x}{5}$，
∴x=$\sqrt{5}$，
∴BD=5x=5$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．