Question

6．如圖，△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=1．以O(shè)B為直角邊向外作等腰直角三角形OBB₁，以O(shè)B₁為直角邊向外作等腰直角三角形OB₁B₂，以O(shè)B₂為直角邊向外作等腰直角三角形OB₂B₃，…，連接AB₁，BB₂，B₁B₃，…，分別與OB，OB₁，OB₂，…交于點(diǎn)C₁，C₂，C₃，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，△ABC₁的面積記為S₁，△BB₁C₂的面積記為S₂，△B₁B₂C₃的面積記為S₃，…，則S₂₀₁₇=$\frac{1}{3}$×2²⁰¹⁵．．

Answer 1

分析 求出S₁，S₂，S₃，S₄，探究規(guī)律后，利用規(guī)律即可解決問題．

解答 解：∵AB∥OB₁，
∴$\frac{AB}{O{B}_{1}}$=$\frac{B{C}_{1}}{O{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴S₁=$\frac{1}{3}$S_△AOB=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$，
易知${S}_{△OB{B}_{1}}$=1，S₂=$\frac{1}{3}$${S}_{△OB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，S₃=$\frac{1}{3}$×2，S₄=$\frac{1}{3}$×2²，…S_n=$\frac{1}{3}$×2^n-2，
∴S₂₀₁₇=$\frac{1}{3}$×2²⁰¹⁵．
故答案為$\frac{1}{3}$×2²⁰¹⁵．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、規(guī)律型問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，學(xué)會(huì)利用規(guī)律解決問題．