Question

12．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB，H為垂足，D是AC的中點，CE平分∠ACH交AB于E，DE與CH的延長線交于點F，求證：BF∥CE．

Answer 1

分析 延長ED到M，使DM=ED，連接AM，MC，于是得到四邊形AMCE是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AE∥MC，AM∥CE，AE=MC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{FE}{FM}=\frac{EH}{MC}=\frac{EH}{AE}$，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到$\frac{EH}{AE}=\frac{CH}{AC}$，通過△BCH∽△BAC，得到$\frac{CH}{AC}=\frac{BC}{BA}$，推出∠CAB=∠BCH，∠ACE=∠ECH，于是得到$\frac{EF}{FM}=\frac{BE}{BA}$，∴$\frac{EF}{EM}=\frac{EB}{AE}$即可得到結(jié)論．

解答 證明：延長ED到M，使DM=ED，連接AM，MC，
∵AD=DC，
∴四邊形AMCE是平行四邊形，
∴AE∥MC，AM∥CE，AE=MC，
∴$\frac{FE}{FM}=\frac{EH}{MC}=\frac{EH}{AE}$，
∵CE平分∠ACH，
∴$\frac{EH}{AE}=\frac{CH}{AC}$，
∵∠ACB=90°，CH⊥AB，
∴△BCH∽△BAC，
∴$\frac{CH}{AC}=\frac{BC}{BA}$，
∵∠BEC=∠CAB+∠ECA，∠ECB=∠ECH+∠BCH，
∵∠CAB=∠BCH，∠ACE=∠ECH，
∴$\frac{EF}{FM}=\frac{BE}{BA}$，
∴$\frac{EF}{EM}=\frac{EB}{AE}$，
∴AM∥BF，
∵AM∥CE，
∴BF∥CE．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．