Question

12．已知三角形的兩邊長是方程x²-2$\sqrt{3}$x+1=0的兩根．則三角形的第三邊c的取值范圍是2$\sqrt{2}$＜c＜2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)方程x²-2$\sqrt{3}$x+1=0的兩根為a和b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=2$\sqrt{3}$，ab=1，再利用完全平方根是得到|a-b|=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$，則可計算出|a-b|=2$\sqrt{2}$，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可確定c的取值范圍．

解答 解：設(shè)方程x²-2$\sqrt{3}$x+1=0的兩根為a和b，
根據(jù)題意得a+b=2$\sqrt{3}$，ab=1，
所以|a-b|=$\sqrt{（a-b）^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-4×1}$=2$\sqrt{2}$，
所以2$\sqrt{2}$＜c＜2$\sqrt{3}$．
故答案為2$\sqrt{2}$＜c＜2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了三角形三邊的關(guān)系．