Question

如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F，連接EF，則線段EF長度的最小值為　　．

Answer 1

考點：

垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形。

分析：

由垂線段的性質(zhì)可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF最短，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH．

解答：

解：如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，

∴AD=BD=2，即此時圓的直徑為2，

由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，

∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=，

由垂徑定理可知EF=2EH=，

故答案為：．

點評：

本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)運動變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形．