Question

【題目】如圖，在菱形中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)重合，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)落在直線上點(diǎn)處，連接、，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)是_________．

Answer 1

【答案】或2或

【解析】

△CDF是等腰三角形，存在3種情況：

（1）DF=DC；

（2）DF=FC；

（3）CF=CD

在這3種情況下，在分別分析

存在3種情況，下面依次分析

情況一：DF=DC，如下圖

∵∠A=45°，EP⊥AB，△EFP是△EAP折疊得到

∴∠EFP=∠A=45°

∴∠AEF=90°，∴∠FED=90°

設(shè)AP=x，則EP=PF=x，AE=EF=x

∵菱形的邊長(zhǎng)為4，∴ED=4－x，DF=4

∴在Rt△EDF中，，即：

解得：x=2，∴AP=2

情況二：DF=FC

如下圖，過點(diǎn)D作AB的垂線，交AB于點(diǎn)H，過線段DC中點(diǎn)G作垂線，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

∵∠A=45°，DH⊥AB，菱形邊長(zhǎng)為4

∴AD=4，AH=DH=2

∵DF=FC，∴過點(diǎn)DC作垂直平分線，與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，即如圖所示

∵DC=4，∴DG=GC=HF=2

∴AF=2

∵點(diǎn)P是AF的中點(diǎn)

∴AP=

情況三：CF=CD

∵CF=CD

∴CF=CD=4，則點(diǎn)F與點(diǎn)B重合

∴AP=2

綜上得：AP=2或或2