Question

1．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D．求證：
（1）△CDE是等腰三角形；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC²=2AB•CE．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)四邊形ABDE為⊙O的內(nèi)接四邊形，判斷出∠AED+∠ABC=180°，進(jìn)而判斷出∠DEC=∠ABC；然后根據(jù)AB=AC，判斷出∠ABC=∠C，所以∠DEC=∠C，DE=DC，據(jù)此判斷出△DEC為等腰三角形即可；
（2）首先根據(jù)∠CBE與∠CAD是同弧所對的圓周角，可得∠CBE=∠CAD；然后根據(jù)∠BCE=∠ACD，可得△BEC∽△ADC；據(jù)此解答即可；
（3）首先根據(jù)△BEC∽△ADC，可得$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{BC}$，即CD•BC=AC•CE；然后根據(jù)AB是⊙O的直徑，判斷出∠ADB=90°，進(jìn)而判斷出CD=$\frac{1}{2}$BC，CD•BC=$\frac{1}{2}$BC•BC=$\frac{1}{2}$BC²；最后根據(jù)AB=AC，判斷出BC²=2AB•CE即可．

解答 證明：（1）∵四邊形ABDE為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠AED+∠ABC=180°，
又∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠DEC=∠ABC；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
即△DEC為等腰三角形．
（2）∵∠CBE與∠CAD是同弧所對的圓周角，
∴∠CBE=∠CAD．
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；
（3）根據(jù)△BEC∽△ADC，
可得$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{BC}$，
即CD•BC=AC•CE；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD是底邊BC上的高；
又∵AB=AC，
∴D是BC的中點(diǎn)，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴CD•BC=$\frac{1}{2}$BC•BC=$\frac{1}{2}$BC²；
∵AB=AC，
∴AC•CE=AB•CE．
∴$\frac{1}{2}$BC²=AB•CE，
即BC²=2AB•CE．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．
（2）此題還考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，要熟練掌握，