Question

9．若x是不等于1的實數(shù)，我們把$\frac{1}{1-x}$稱為x的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒數(shù)為$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．現(xiàn)已知x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂是x₁的差倒數(shù)，x₃是x₂的差倒數(shù)，x₄是x₃的差倒數(shù)，…，依此類推，則x₂₀₁₆的值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)差倒數(shù)的定義找出該組數(shù)列的前4個數(shù)，由x₄=x₁，從而得出數(shù)據(jù)變化規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得出x₂₀₁₆的值．

解答 解：根據(jù)差倒數(shù)的定義可得出：
${x}_{1}=-\frac{1}{3}$，x₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，x₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，x₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，…
由此發(fā)現(xiàn)該組數(shù)每3個一循環(huán)．
∵2016÷3=672，
∴x₂₀₁₆=x₃=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了數(shù)字的變化以及求倒數(shù)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)“該組數(shù)每3個一循環(huán)”這個規(guī)律．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，根據(jù)差倒數(shù)的定義式列出前4個數(shù)據(jù)即可找出規(guī)律得以解決．