Question

已知關于x的方程x²－（m＋2）x＋（2m－1）=0。
（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；
（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長。

Answer 1

解：（1）證明：∵△=（m＋2）²－4（2m－1）=（m－2）²＋4，
∴在實數范圍內，m無論取何值，（m－2）²+4≥4＞0，即△＞0。
∴關于x的方程x²－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有兩個不相等的實數根。
（2）∵此方程的一個根是1，
∴1²－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，
則方程的另一根為：m＋2－1=2+1=3。
①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為，該直角三角形的周長為1＋3＋=4＋。
②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長為1＋3＋=4＋。

解析