Question

如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若BC=6，tan∠CDA=

2

3

，求CD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連接OD，如圖，先證明∠CDA=∠ODB，再根據圓周角定理得∠ADO+∠ODB=90°，則∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，于是根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）由于∠CDA=∠ODB，則tan∠CDA=tan∠ABD=

2

3

，根據正切的定義得到tan∠ABD=

AD

BD

=

2

3

，接著證明△CAD∽△CDB，由相似的性質得

CD

BC

=

AD

BD

=

2

3

，然后根據比例的性質可計算出CD的長．

解答： （1）證明：連接OD，如圖，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA=∠ODB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的長線；
（2）解：∵∠CDA=∠ODB，
∴tan∠CDA=tan∠ABD=

2

3

，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=

2

3

，
∵∠DAC=∠BAD，∠CDA=∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴

CD

BC

=

AD

BD

=

2

3

，
∴CD=

2

3

×6=4．

點評：本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質．