Question

如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=3，sin∠DCB=

4

5

，P是邊CD上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)C、D不重合），以PC為半徑的⊙P與邊BC相交于點(diǎn)C和點(diǎn)Q．

（1）如果BP⊥CD，求CP的長；
（2）如果PA=PB，試判斷以AB為直徑的⊙O與⊙P的位置關(guān)系；
（3）聯(lián)結(jié)PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）作DH⊥BC于H，如圖1，利用矩形的性質(zhì)得DH=4，BH=3，在Rt△DHC中，利用正弦的定義可計算出DC=5，再利用勾股定理計算出CH=3，則BC=BH+CH=6，然后證明Rt△DCH∽Rt△BCP，利用相似比可計算出PC=

18

5

；
（2）作PE⊥AB于E，如圖2，由于PA=PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AE=BE=

1

2

AB=2，也可判斷PE為梯形ABCD的中位線，所以PD=PC=

5

2

，PE=

1

2

（AD+BC）=

9

2

，于是得到EA+PC=PE，根據(jù)兩圓外切的判定方法得到以AB為直徑的⊙O與⊙P外切；
（3）如圖1，作PF⊥BC于F，根據(jù)垂徑定理得CF=QF，設(shè)PC=x，則DP=5-x，先證明△CPF∽△CDH，利用相似比可計算出CF=

3x

5

，則CQ=2CF=

6x

5

，BQ=BC-CQ=6-

6x

5

，由PQ=PC得∠PQC=∠PCQ，而∠ADP+∠PCQ=180°，∠PQC+∠PQB=180°，所以∠ADP=∠PQB，然后討論：當(dāng)△ADP∽△BQP，根據(jù)相似的性質(zhì)得

3

6- 6x 5

5-x

x

，解得x₁=

5

2

，x₂=10（舍去），得到PC=

5

2

；當(dāng)△ADP∽△PQB，利用相似的性質(zhì)得

3

x

=

5-x

6- 6x 5

，解得x₁=

18

5

，x₂=5（舍去），得到PC=

18

5

．

解答：解：（1）作DH⊥BC于H，如圖1，
∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=3，
∴DH=4，BH=3，
在Rt△DHC中，sin∠DCH=

DH

DC

=

4

5

，
∴DC=5，
∴CH=

DC2-DH2

=3，
∴BC=BH+CH=6，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=90°，
而∠DCH=∠BCP，
∴Rt△DCH∽Rt△BCP，
∴

DC

BC

=

CH

PC

，即

5

6

=

3

PC

，
∴PC=

18

5

；
（2）作PE⊥AB于E，如圖2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=

1

2

AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE為梯形ABCD的中位線，
∴PD=PC，PE=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（3+6）=

9

2

，
∴PC=

1

2

DC=

5

2

，
∴EA+PC=PE，
∴以AB為直徑的⊙O與⊙P外切；
（3）如圖1，作PF⊥BC于F，則CF=QF，
設(shè)PC=x，則DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴

PC

CD

=

CF

CH

，即

x

5

=

CF

3

，解得CF=

3x

5

，
∴CQ=2CF=

6x

5

，
∴BQ=BC-CQ=6-

6x

5

，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
當(dāng)△ADP∽△BQP，
∴

AD

BQ

=

DP

QP

，即

3

6- 6x 5

=

5-x

x

，
整理得2x²-25x+50=0，解得x₁=

5

2

，x₂=10（舍去），
經(jīng)檢驗x=

5

2

是原分式方程的解．
∴PC=

5

2

；
當(dāng)△ADP∽△PQB，
∴

AD

PQ

=

DP

BQ

，即

3

x

=

5-x

6- 6x 5

整理得5x²-43x+90=0，解得x₁=

18

5

，x₂=5（舍去），
經(jīng)檢驗x=

18

5

是原分式方程的解．
∴PC=

18

5

，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的長為

5

2

或

18

5

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓與圓的位置關(guān)系和梯形的性質(zhì)；會運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計算．