Question

15．如圖，O為圓內(nèi)接四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，OE⊥AB．OF⊥BC，OG⊥CD，OA⊥DA，求證：EH+FG=EF+HG．

Answer 1

分析 由E、O、F、B四點(diǎn)共圓，且OB是直徑，根據(jù)正弦定理可知，EF=OB•sin∠ABC，同理可證，HG=OD•sinADC，EH=OA•sin∠BAC，F(xiàn)G=OC•sin∠BCD，推出EF+GH=（OB+OD）sin∠ABC=BD•sin∠ABC，EH+FG=（OA+OC）sin∠BAD=AC•sin∠BAD，根據(jù)四邊形ABCD四點(diǎn)共圓，設(shè)直徑為2R，則有$\frac{AC}{sin∠ABC}$=$\frac{BD}{sin∠BAD}$=2R，由此即可證明．

解答 證明：∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∴∠OEB+∠OFB=180°，
∴E、O、F、B四點(diǎn)共圓，且OB是直徑，
由正弦定理可知，EF=OB•sin∠ABC，
同理可證，HG=OD•sinADC，EH=OA•sin∠BAC，F(xiàn)G=OC•sin∠BCD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC=∠ADC，∠BAC=∠BCD，
∴sin∠ABC=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠BCD，
∴EF+GH=（OB+OD）sin∠ABC=BD•sin∠ABC，
EH+FG=（OA+OC）sin∠BAD=AC•sin∠BAD，
∵四邊形ABCD四點(diǎn)共圓，設(shè)直徑為2R，
則有$\frac{AC}{sin∠ABC}$=$\frac{BD}{sin∠BAD}$=2R，
∴BD•sin∠ABC=AC•sinBAD，
∴EF+GH=EH+FG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、正弦定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用正弦定理解決問題，題目有一定的難度，對(duì)于初中學(xué)生來說知識(shí)點(diǎn)超綱．