Question

16．如圖，Rt△ABC中，AB=BC=2，D為BC的中點，在AC邊上存在一點E，連接ED，EB，則EB+ED的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}+1$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由等腰直角三角形補全正方形，找B′C的中點D′，通過證明三角形全等找出ED=ED′，再由三角形內兩邊之和大于第三邊得出當B、E、D′三點共線時，EB+ED′最小，由勾股定理可在Rt△BCD′中求出BD′的值，從而得出結論．

解答 解：將等腰直角三角形補充成正方形，其中B點與B′點相對，取B′C的中點D′，連接D′B交AC于點E，如圖所示．

∵四邊形ABCB′為正方形，且D為BC中點，D′為B′C中點，
∴DC=D′C，∠DCE=∠D′CE=45°，
即在△DCE與△D′CE中，有$\left\{\begin{array}{l}{DC=D′C}\\{∠DCE=∠D′CE}\\{EC=EC}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△D′CE，
∴ED=ED′．
當B、E、D′三點共線時，EB+ED′最�。ㄈ�角形內邊之和大于第三邊）．
在Rt△BCD′中，BC=2，CD′=$\frac{1}{2}$BC=1，∠BCD′=90°，
由勾股定理可知：BD′=$\sqrt{B{C}^{2}+CD{′}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故選C．

點評 本題考查了正方形的性質、軸對稱-最短線路問題，解題的關鍵是找出ED′=ED．本題屬于基礎題，在求最短線路中也是屬于簡單題的存在，解決該類問題一般都是找到其中一個點關于直線的對稱點再連接，該題巧合在三角形為等腰直角三角形，故只需補充成正方形即可．