Question

【題目】（1）如圖1，在四邊形中，，，分別是上的點，且，探究圖中之間的數量關系。小明同學探究此問題的方法是：延長到點，使。連接，先證明，再證明，可得出結論。他的結論應是______________________________________（不寫過程）。

（2）如圖2，若在四邊形中，，，分別是上的點，且，上述結論是否仍然成立，并說明理由。

（3）如圖3，已知在四邊形中，，，若點在的延長線上，點在的延長線上，仍然滿足，請寫出與的數量關系，并給出證明過程。

Answer 1

【答案】（1）；（2）仍成立，見解析；（3），見解析

【解析】

（1）延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，利用SAS可判定△ABE≌△ADG，進而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再利用SSS判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，據此得出結論；

（2）延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，利用SAS先判定△ABE≌△ADG，進而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再利用SSS判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；

（3）在DC延長線上取一點G，使得DG＝BE，連接AG，利用SAS先判定△ADG≌△ABE，再利用SSS判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根據∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，推導得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出結論．

（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：

如圖1，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，

在ABE和ADG中，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴EF=FG，AE=AG，BAE=DAG

EF=BE+FD

∴EF=GD+FD=GF

在△EAF和△GAF中，

∴△AEF≌△AGF(SSS)，

∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．

故答案為：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；

（2）仍成立，

理由如下：如圖，延長到點，使，連接 、

B+ADF=180，又ADG+ADF=180,

∴B=ADG

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE△ADG(SAS)，

∴AE=AG，BAE=DAG，

EF=BE+FD

∴EF=GD+FD=GF

在△EAF和△GAF中，

∴△EAF△GAF(SSS)

∴EAF=GAF=BAE+FAD

∴

（3）

證明：如圖，在的延長線上取一點，使得，連接

ABC+ADC=180，又ABC+ABE=180,

∴ABE=ADG

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE△ADG(SAS)，

∴AE=AG,BAE=DAG,

EF=BE+FD

∴EF=GD+FD=GF

在△EAF和△GAF中，

∴△EAF△GAF(SSS)

∴ 又

∴

∴，

∴

∴