Question

（9分）小學(xué)我們就學(xué)過，四個(gè)內(nèi)角都是直角的四邊形叫做長方形，長方形的對邊相等且平行．如圖①，長方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E為CD的中點(diǎn)．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A-B-C的方向在長方形邊上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（圖②③為備用圖）

（1）當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)，t=_______s時(shí)，△APE的面積為長方形面積的.

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，t為何值時(shí)，△APE為直角三角形？

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，t為何值時(shí)，△APE為等腰三角形？

 

Answer 1

（1）4；（2）t=3或；（3）t=5或6或．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長方形面積的，根據(jù)題意得：△APE的面積=AP•AD=，從而求得t值；

（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)AEP為直角三角形，此時(shí)角APE為直角，t=3；還有一種情況，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到BC上時(shí)，角AEP為直角時(shí)利用相似三角形求得AP的長即可求得t值；

（3））第一種情況，當(dāng)P在AE垂直平分線上時(shí)，AP=EP；第二種情況，P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B上時(shí)APE為等腰三角形，此時(shí)AE=EP，t=6；第三種情況，P在AB上，AP=PE；

試題解析：（1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長方形面積的，

根據(jù)題意得：AP=t，∴△APE的面積==AP•AD=，解得：t=4，

∴4秒后，△APE的面積為長方形面積的；

（2）顯然當(dāng)t=3時(shí)，PE⊥AB，

∴△APE是直角三角形，

當(dāng)P在BC上時(shí)，△ADE∽△ECP，此時(shí)CP：de=CE：AD，解得：CP=，

∴PB=BC﹣PC=，∴；

∴t=3或時(shí)，△APE為直角三角形；

（3）①當(dāng)P在AE垂直平分線上時(shí)，AP=EP，

過P作PQ⊥AE于Q，∵AD=4，DE=3，∴AE=5，∴AQ=2.5，

由△AQP∽△EDA，得：AP：AE=AQ：DE，∴AP：5=2.5：3，解得：AP=，∴t=；

②當(dāng)EA=EB時(shí)，AP=6，∴t=6，

③當(dāng)AE=AP時(shí)，∴t=5．

∴當(dāng)t=或5或6時(shí)，△APE是等腰三角形．

考點(diǎn)：四邊形綜合題．