Question

（2007•海淀區(qū)二模）如圖，AB經過⊙O的圓心，弦DF⊥AB于E，BF切⊙O于F，⊙O的半徑為2．
（1）求證：BD與⊙O相切；
（2）若∠ABD=∠DFC，求DF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，OF，根據BF切⊙O于點F，得出∠OFB=90°，再根據弦DF⊥AB于E，且AB經過圓心O，得出∠1=∠BFD，最后根據OD=OF，∠3=∠4，得出∠ODB=∠OFB=90°即可；
（2）根據（1）得∠3=∠5，根據∠2=∠5，得出∠2=∠3，再根據∠6=2∠2，得出∠6=2∠3，再根據∠6+∠3=90°，求出∠3的度數，最后根據⊙O的半徑為2，即可求出DF的長．

解答：（1）證明：連接OD，OF．
∵BF切⊙O于點F，
∴∠OFB=90°，
∵弦DF⊥AB于E，且AB經過圓心O，
∴DE=EF，
∴BD=BF．
∴∠1=∠BFD．
∵OD=OF，
∴∠3=∠4，
∴∠ODB=∠OFB=90°，
∴BD與⊙O相切；

（2）解：由（1）可知∠3=∠5，
∵∠2=∠5，
∴∠2=∠3．
又∵∠6=2∠2，
∴∠6=2∠3．
∵∠6+∠3=90°，
∴3∠3=90°．
∴∠3=30°，
∵OD=2，
∴DE=

3

，
∴DF=2

3

．

點評：此題考查了切線的判定與性質，用到的知識點是垂徑定理，圓心角與圓周角之間的關系，圓的有關性質等，解題的關鍵是證出∠ODB=∠OFB=90°，難度適中．