Question

矩形ABCD的周長(zhǎng)為16，點(diǎn)P是矩形邊上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到對(duì)角線AC，BD的距離之和的最大值是

1. A.
   8
2. B.
   4
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：先根據(jù)不等式a²+b²≥確定取得最大值時(shí)矩形的長(zhǎng)與寬相等，此時(shí)求出矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)和面積，再根據(jù)點(diǎn)P與對(duì)角線的交點(diǎn)的連線把三角形分成兩個(gè)小三角形的面積的和等于矩形面積的，即可求出點(diǎn)P到兩對(duì)角線點(diǎn)的距離的最大值．
解答：解：如圖，設(shè)矩形的長(zhǎng)為a，寬為b，
根據(jù)題意a+b=16÷2=8，
∵a²+b²≥=32，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)，對(duì)角線AC=BD===4，
因?yàn)榫匦蔚乃膫�(gè)三角形面積相等，均為×（4×4）=4，
設(shè)對(duì)角線交點(diǎn)為O，連接PO，
S_△AOD=S_△APO+S_△DPO=AO•PE+OD•PF=AO（PE+PF）=4，
∵AO=AC=×4=2，
∴PE+PF==2．
即點(diǎn)P到對(duì)角線AC，BD的距離之和的最大值是2．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題利用不等式得到當(dāng)矩形的長(zhǎng)與寬相等時(shí)，點(diǎn)P到對(duì)角線AC、BD的距離之和最大是解本題的關(guān)鍵，利用面積求解三角形的問(wèn)題是常用的方法之一．