Question

如圖，⊙O的直徑AB=12cm，AM和BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點E，并與AM、BN分別交于D、C兩點，設(shè)AD=x，BC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出它的圖象．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：作輔助線構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理及切線的性質(zhì)定理即可求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；運用描點法作出函數(shù)的圖象（草圖）．

解答：解：如圖1，過點D作DF⊥BC于點F；    
                            
∵AD、BC分別是⊙O的切線，
∴∠OAD=∠OBF=90°，
又∵DF⊥BC，
∴四邊形ABFD為矩形，
∴DF=AB=12cm，BF=AD；
∵AD、BC、DC分別為⊙O的切線，
∴DE=DA=x，CE=CB=y，CF=y-x；
∴DC=x+y；
由勾股定理得：DC²=DF²+CF²，
即（x+y）²=（y-x）²+12²，
整理得：xy=36，
∴y=

36

x

，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式y=

36

x

（x＞0）．
如圖2，作圖象：當(dāng)x=3時，y=12；x=4時，y=9；x=6時，y=6，x=9時，y=4；
過點A（3，12）、B（4，9）、C（6，6）、D（9，4）
在坐標(biāo)系內(nèi)描點連線得函數(shù)的圖象 （草圖）

點評：該題考查了圓的切線及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理來解題．