Question

如圖，矩形EFHG的邊GH在△ABC邊BC上，其他兩個頂點分別在邊AB、AC上，已知△ABC的邊BC=120cm，BC邊上的高AD為80cm；求：
（1）當矩形EFHG是正方形時，求這個正方形的邊長；
（2）設EG的長為x cm，x為何值時，矩形EFHG的面積最大？并求面積的最大值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）證明△AEF∽△ABC，列出比例式，即可解決問題．
（2）用變量x來表示EF的長度，進而表示出矩形EFHG的面積，即可解決問題．

解答：解：（1）∵四邊形EFHG是正方形，且AD⊥BC，
∴EF∥BC，EG=EF=MD（設為λ），
∴△AEF∽△ABC，AM=80-λ；
∴EF：BC=AM：AD，
即λ：120=（80-λ）：80，
解得：λ=48（cm），
即這個正方形的邊長為48cm．
（2）設矩形EFHG的面積為λ，
由（1）知：EF：BC=AM：AD，
即EF：120=（80-x）：80，
解得：EF=120-1.5x，
∴λ=x（120-1.5x）=-1.5x²+120x，
∴當x=-

120

2×(-1.5)

=40時，λ取得最大值，
λ的最大值=-1.5×1600+120×40=2400（cm²）．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質、二次函數(shù)的性質等數(shù)學知識點的應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答；對綜合運用能力提出了一定的要求．