Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0，它的兩個根為矩形的兩鄰邊長．求：
（1）當k為何值，方程有兩個實數(shù)根；
（2）當矩形的對角線長是5時，求k的值．

Answer 1

考點：根的判別式,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）方程有兩個實數(shù)根，必須滿足△=b²-4ac≥0，由此可以得到關(guān)于k的不等式，然后解不等式即可求出實數(shù)k的取值范圍；
（2）根據(jù)勾股定理得出兩根的平方和=5²，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題即可．

解答：解：（1）∵△=[-（k+1）]²-4（

1

4

k²+1）
=k²+2k+1-k²-4=2k-3，
又∵原方程有兩個實數(shù)根，
∴2k-3≥0，
解得k≥

3

2

，
即實數(shù)k的取值范圍是k≥

3

2

；
（2）設(shè)矩形的兩鄰邊長a、b，
則a+b=k+1，ab=

1

4

k²+1，
由勾股定理得a²+b²=5²，
即（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=25，
解得k=2

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-2，k=-2

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-2（不合題意舍去）．

點評：此題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．和考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．