Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若x₁x₂+y₁y₂=0，且A，B均不為原點，則稱A和B互為正交點．比如：A（1，1），B（2，-2），其中1×2+1×（-2）=0，那么A和B互為正交點．
（1）點P和Q互為正交點，P的坐標(biāo)為（-2，3），
①如果Q的坐標(biāo)為（6，m），那么m的值為4；
②如果Q的坐標(biāo)為（x，y），求y與x之間的關(guān)系式；
（2）點M和N互為正交點，直接寫出∠MON的度數(shù)；
（3）點C，D是以（0，2）為圓心，半徑為2的圓上的正交點，以線段CD為邊，構(gòu)造正方形CDEF，原點O在正方形CDEF的外部，求線段OE長度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①②根據(jù)互為正交點的定義，列出方程即可解決問題；
（2）設(shè)M（m，n），N（p，q），推出直線OM的解析式為y=$\frac{n}{m}$x，直線ON的解析式為y=$\frac{q}{p}$x，由點M和N互為正交點，可得mp+nq=0，推出k_OM•k_ON=$\frac{nq}{mp}$=-1即可解決問題；
（3）如圖1中，連接EF交CD于H，作FQ⊥CD于Q．尋找特殊位置，求出OE的最大值以及最小值即可．

解答 解：（1）①由題意：-2×6+3m=0，
解得m=4，
故答案為4．
②由題意：-2x+3y=0，
∴y=$\frac{2}{3}$x．
故答案為y=$\frac{2}{3}$x．

（2）設(shè)M（m，n），N（p，q），
∴直線OM的解析式為y=$\frac{n}{m}$x，直線ON的解析式為y=$\frac{q}{p}$x，
∵點M和N互為正交點，
∴mp+nq=0，
∴k_OM•k_ON=$\frac{nq}{mp}$=-1，
∴OM⊥ON．
∴∠MON=90°．

（3）如圖1中，連接EF交CD于H，作FQ⊥CD于Q．

由題意DF=CF=2，CD=DE=2$\sqrt{2}$，DQ=QC=FQ=$\sqrt{2}$，
∵FQ∥DE，
∴QH：DH=FQ：DE=FH：EH=1：2，
∴HQ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，F(xiàn)H=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴EH=2FH=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴EF=FH+EH=2$\sqrt{5}$，
在△OFE中，OE≤EF+OF，
∴當(dāng)點E在y軸的正半軸上時，O、F、E共線，此時OE的值最大，最大值為2+2$\sqrt{5}$．
∵原點O在正方形CDEF的外部，
∴當(dāng)點F在x軸正半軸上時，OE的值最小，最小值為4．
∴符合條件的OE的范圍為：4≤OE≤2+2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、兩直線垂直的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會尋找特殊點解決最值問題，屬于中考壓軸題．