Question

反比例函數y=

k

x

在第一象限的圖象如圖所示，過點A（1，0）作x軸的垂線，交反比例函數y=

k

x

的圖象于點M，△AOM的面積為3．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）設點B的坐標為（t，0），其中t＞1．若以AB為一邊的正方形有一個頂點在反比例函數y=

k

x

的圖象上，求t的值．

Answer 1

考點：待定系數法求反比例函數解析式,解一元二次方程-因式分解法,反比例函數系數k的幾何意義,反比例函數圖象上點的坐標特征,正方形的性質

專題：數形結合

分析：（1）根據反比例函數k的幾何意義得到

1

2

|k|=3，可得到滿足條件的k=6，于是得到反比例函數解析式為y=

6

x

；
（2）分類討論：當以AB為一邊的正方形ABCD的頂點D在反比例函數y=

6

x

的圖象上，則D點與M點重合，即AB=AM，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征確定M點坐標為（1，6），則AB=AM=6，所以t=1+6=7；當以AB為一邊的正方形ABCD的頂點C在反比例函數y=

6

x

的圖象上，根據正方形的性質得AB=BC=t-1，
則C點坐標為（t，t-1），然后利用反比例函數圖象上點的坐標特征得到t（t-1）=6，再解方程得到滿足條件的t的值．

解答：解：（1）∵△AOM的面積為3，
∴

1

2

|k|=3，
而k＞0，
∴k=6，
∴反比例函數解析式為y=

6

x

；

（2）當以AB為一邊的正方形ABCD的頂點D在反比例函數y=

6

x

的圖象上，則D點與M點重合，即AB=AM，
把x=1代入y=

6

x

得y=6，
∴M點坐標為（1，6），
∴AB=AM=6，
∴t=1+6=7；
當以AB為一邊的正方形ABCD的頂點C在反比例函數y=

6

x

的圖象上，
則AB=BC=t-1，
∴C點坐標為（t，t-1），
∴t（t-1）=6，
整理為t²-t-6=0，解得t₁=3，t₂=-2（舍去），
∴t=3，
∴以AB為一邊的正方形有一個頂點在反比例函數y=

k

x

的圖象上時，t的值為7或3．

點評：本題考查了用待定系數法求反比例函數的解析式：（1）設出含有待定系數的反比例函數解析式y(tǒng)=xk（k為常數，k≠0）；（2）把已知條件（自變量與函數的對應值）代入解析式，得到待定系數的方程；（3）解方程，求出待定系數；（4）寫出解析式．也考查了反比例函數k的幾何意義、反比例函數圖象上點的坐標特征和正方形的性質．