Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是

AB

上兩點，AB=13，AC=5．
（1）如圖（1），若點P是

AB

的中點，求PA的長；
（2）如圖（2），若點P是

BC

的中點，求PA的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形,圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)圓周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中點，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．
（2）根據(jù)垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得出△ACB∽△0NP，根據(jù)對應(yīng)邊成比例求得ON、AN的長，利用勾股定理求得NP的長，進而求得PA．

解答：解：（1）如圖（1）所示，連接PB，

∵AB是⊙O的直徑且P是

AB

的中點，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，
又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，
∴PA=

AB

2

=

13

2

=

13 2

2

．

（2）如圖（2）所示：連接BC．OP相交于M點，作PN⊥AB于點N，

∵P點為弧BC的中點，
∴OP⊥BC，∠OMB=90°，
又因為AB為直徑
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OMB，
∴OP∥AC，
∴∠CAB=∠POB，
又因為∠ACB=∠ONP=90°，
∴△ACB∽△0NP
∴

AB

OP

=

AC

ON

，
又∵AB=13 AC=5 OP=

13

2

，
代入得 ON=

5

2

，
∴AN=OA+ON=9
∴在Rt△OPN中，有NP²=0P²-ON²=36
在Rt△ANP中 有PA=

AN2+NP2

=

117

=3

13

∴PA=3

13

．

點評：本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．