Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=ax2+2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸及線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（2）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，若∠APB=120°，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及a的值；
（3）若在拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)N，使得∠ANB=90°，結(jié)合圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，即a（x+3）（x﹣1）=0，解得：x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0）、B（1，0）．

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣1，AB=4

（2）

解：如圖1所示：

設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H．

∵∠APB=120°，AB=4，PH在對(duì)稱(chēng)軸上，

∴AH=2，∠APB=60°．

∴PH= ．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣ ）．

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得：﹣ =﹣4a，解得a=

（3）

解：如圖2所示：以AB為直徑作⊙H．

∵當(dāng)∠ANB=90°，

∴點(diǎn)N在⊙H上．

∵點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，

∴點(diǎn)N為拋物線(xiàn)與⊙H的交點(diǎn)．

∴點(diǎn)P在圓上或點(diǎn)P在圓外．

∴HP≥2．

∵將x=﹣1代入得：y=﹣4a．

∴HP=4a．

∴4a≥2，解得a≥ ．

∴a的取值范圍是a≥

【解析】（1）令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，解關(guān)于x的方程可求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，然后可求得AB的長(zhǎng)，利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程；（2）如圖1所示，利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知：AH=2，∠APB=60°，然后可求得PH= ，從而可的點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式可求得a的值；（3）以AB為直徑作⊙H，則點(diǎn)N在⊙H上，當(dāng)點(diǎn)P在⊙H上或點(diǎn)P在⊙H外時(shí)，∠ANB=90°，故此HP≥2，接下來(lái)，依據(jù)HP≥2列不等式求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．才能正確解答此題．