Question

15．正方形ABCD邊長為2$\sqrt{2}$，點E在對角線AC上，連接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，連接AF，EF．
（1）證明：AC⊥AF；
（2）設(shè)AD²=AE×AC，求證：四邊形AEDF是正方形；
（3）當(dāng)E點運動到什么位置時，四邊形AEDF的周長有最小值，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）由已知條件及正方形的性質(zhì)易證△CDE≌△ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，進(jìn)而可得∠CAF=90°，即AC⊥AF；
（2）若AD²=AE×AC，再由條件∠CAD=∠EAD=45°，易證△EAD∽△DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，繼而證明四邊形AEDF為正方形；
（3）當(dāng)E點運動到AC中點位置時，四邊形AEDF的周長有最小值，由（2）得CE=AF，則有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四邊形AEDF的周長l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，則DE最小四邊形的周長最小，問題得解．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，
∵將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，
∴∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠ADF，
在△CDE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AD}\\{∠CDE=∠ADF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△ADF，
∴∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，
∴∠CAF=90°，
即AC⊥AF；
（2）∵AD²=AE×AC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$
∵∠CAD=∠EAD=45°，
∴△EAD∽△DAC，
∴∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，
∴四邊形AEDF為正方形
（3）當(dāng)E點運動到AC中點位置時，四邊形AEDF的周長有最小值，
理由如下：
由（2）得CE=AF，則有AE+AF=AC=4，
又DE=DF，則當(dāng)DE最小時，四邊形AEDF的周長l=AE+AF+DE+DF=4+2DE最小，
當(dāng)DE⊥AC時，E點運動到AC中點位置時，此時DE=2四邊形AEDF的周長最小值為8．

點評 本題屬于幾何變換綜合題的考查，用到的知識點有正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及四邊形周長最小值的問題、動點問題，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，是一道不錯的中考題壓軸題．