Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA，sinB是方程x²-

2

x-k=0的兩根．求∠A和∠B的度數(shù)及k的值．

Answer 1

分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系式，得sin²A+sin²B=1；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得sinA+sinB=

2

，sinA•sinB=-k，再進一步利用完全平方公式得到關(guān)于k的方程進行求解．

解答：解：∵sinA和sinB是方程x2-

2

x-k=0的兩個根，
∴sinA+sinB=

2

，sinA•sinB=-k，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sin²A+sin²B=1，
∴2+2k=1，
解得k=-

1

2

．
故原方程可以變?yōu)椋簒2-

2

x+

1

2

=0，
解得sinA=sinB=

2

2

，
故∠A=∠B=45°．

點評：此題綜合考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及銳角三角函數(shù)關(guān)系式．解題的關(guān)鍵是牢記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．