Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC，O為BC的中點，AC與半圓O相切于點D．
（1）求證：AB是半圓O所在圓的切線；
（2）若cos∠ABC=$\frac{2}{3}$，AB=12，求半圓O所在圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質，可得OA，根據(jù)角平分線的性質，可得OE，根據(jù)切線的判定，可得答案；
（2）根據(jù)余弦，可得OB的長，根據(jù)勾股定理，可得OA的長，根據(jù)三角形的面積，可得OE的長．

解答 （1）證明：如圖1
，
作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∵AB=AC，O為BC的中點，
∴∠CAO=∠BAO．
∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∴OD=OE，
∵AB經過圓O半徑的外端，
∴AB是半圓O所在圓的切線；
（2）cos∠ABC=$\frac{2}{3}$，AB=12，得
OB=8．
由勾股定理，得
AO=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
由三角形的面積，得
S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OE=$\frac{1}{2}$OB•AO，
OE=$\frac{OB•AO}{AB}$=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
半圓O所在圓的半徑是$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質，利用切線的判定是解題關鍵，利用面積相等得出關于OE的長是解題關鍵．