Question

在市區(qū)為了美化環(huán)境，準備在一塊矩形土地ABCD上修建一個矩形休閑廣場EFCG，為了使文物保護區(qū)△AKH不被破壞，休閑廣場的頂點E不能在文物保護區(qū)內(nèi)，已知AB=50m，AD=40m，AK=15m，AH=10m．
（1）當點E是HK的中點時，休閑廣場的面積時多少平方米？
（2）當點E在HK上什么位置時，休閑廣場的面積最大？最大面積是多少平方米？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）延長GE，F(xiàn)E交分別AB于點Q，AD于點P，由矩形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)就可以得出EQ、EP的值，就可以求出EG、EF的值由矩形的面積公式就可以求出結(jié)論；
（2）在Rt△AKH中，由勾股定理可以求出HK的值，設EK為x，就可以表示出EH，由相似三角形的性質(zhì)就可以表示出EQ、EP，設休閑廣場EFCG的面積為S，由矩形的面積表示出S與x的關系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）延長GE，F(xiàn)E交分別AB于點Q，AD于點P，
∵四邊形EFCG，四邊形ABCD是矩形，
∴EQ∥AH，EP∥AK，
∴△KEQ∽△KHA，△HPE∽△HAK，
∴

EK

HK

=

EQ

HA

，

HE

HK

=

EP

AK

，
∵E是HK的中點，
∴

EK

HK

=

EH

HK

=

1

2

．
∵AK=15m，AH=10m，
∴

EQ

10

=

1

2

，

EP

15

=

1

2

，
∴EQ=5，EP=7.5．
∵AB=50m，AD=40m，
∴EF=42.5，EG=35，
∴休閑廣場的面積為：42.5×35=1487.5m²．
答：當點E是HK的中點時，休閑廣場的面積是1487.5平方米；
（2）在Rt△AKH中，由勾股定理得，
HK=5

13

m．
設EP為x，則PH=

2

3

x，
∴PA=10-

2

3

x，
∴EF=50-x，EG=（40-10+

2

3

x）=30+

2

3

x，
設休閑廣場EFCG的面積為S，由題意，得
S=（50-x）（30+

2

3

x）=-

2

3

（x-

5

2

）²+

9025

6

，
∴a=2.5時，S最大=

9025

6

m²．
∴

2.5

15

=

HE

5 13

，
∴HE=

5 13

6

因此當x=2.5時休閑廣場的面積最大，此時即當EH=

5 13

6

時，休閑廣場的面積最大．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，矩形的性質(zhì)的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時弄清楚EP，EQ之間的數(shù)量關系是解題的關鍵．