Question

【題目】如圖，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是對角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PF⊥BD于P，交邊BC于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C都不重合），E是射線FC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，設(shè)B、P兩點(diǎn)的距離為x，△DEP的面積為y

（1）求出tan∠PBF；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍

（3）當(dāng)△DEP與△BCD相似時(shí)，求△DEP的面積

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)∠DEP=90°時(shí)，面積為；當(dāng)∠PDE=90°時(shí)，面積為

【解析】

(1)利用矩形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)而得出,即可得出tan∠PBF的值;

(2)首先根據(jù)相似三角形的判定定理得出,然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)而得出,即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系;

(3)利用當(dāng)△DEP與△BCD相似時(shí),只有兩種情況:∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°,分別利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)計(jì)算得出答案即可.

(1)∵四邊形ABCD是矩形,

又

即

又

,即

如圖,作垂足為H,則

又

設(shè)則,

,

又

由勾股定理得：

=

又

當(dāng)△DEP與△BCD相似時(shí),

只有兩種情況:∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°

①當(dāng)∠DEP=90°,

∵∠DPE+∠PDE=90°即

∠PDE=∠CBD

∴BE=DE

設(shè)CE=a,則BE=DE=4-a

在Rt△DEC中,勾股定理得

解之

則,

又∵△BCD的面積=4

②當(dāng)∠EDP=90°,如圖2,