Question

6．如圖所示，在△ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD=BC，E是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE=2AC，若AD=BE，求證：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 由于告訴了AE=2AC，故延長(zhǎng)AC至F，使CF=AC，連接BF，則△ADC≌△FBC，從而AD=BF，又AD=BE，從而B(niǎo)F=BE，即三角形BEF是等腰三角形，再根據(jù)AE=2AC，可得A是EF中點(diǎn)，由三線合一可得BA垂直EF．

解答 證明：如圖，延長(zhǎng)AC至F，使CF=AC，連接BF，

∵BC=CD，
在△ADC和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=FC}\\{∠ACD=∠FCB}\\{DC=BC}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△FBC（SAS），
∴BF=AD，
∵AD=BE，
∴BF=BE，
∵AE=2AC，
∴AE=AF，
∴BA⊥EF，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，難度中等．由題目條件“AE=2AC”聯(lián)想到中線倍長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．