Question

(2005·遼寧大連)如圖所示，P是y軸上一動點，是否存在平行于y軸的直線x=t，使它與直線y=x和直線分別交于點D、E(E在D的上方)，且△PDE為等腰直角三角形．若存在，求t的值及點P的坐標；若不存在，請說明原因．

Answer 1

答案：略
解析：

解　存在． 　　方法1　當x=t時，y=x=t；當x=t時， 　　． 　　∴E點坐標為，D點坐標為(t，t)． 　　∵E在D的上方，∴，且． 　　∵△PDE為等腰直角三角形， 　　∴PE=DE或PD=DE或PE=PD 　　若t＞0，PE=DE時，． 　　∴，． 　　∴P點坐標為． 　　若t＞0，PD=ED時， 　　∴∴P點坐標為． 　　若t＞0．PE=PD時,即DE為斜邊 　　∴ 　　∴，DE的中點坐標為， 　　∴P點坐標為． 　　若t＜0，PE=DE和PD=DE時,由已知得，，t=4＞0(不符合題意，舍去)，此時直線x=t不存在． 　　若t＜0，PE=PD時,即DE為斜邊，由已知得DE=－2t，， 　　∴t=－4，，∴P點坐標為(0，0)． 　　綜上所述：當時，為等腰直角三角形，此時P點坐標為或；當時，為等腰直角三角形，此時P點坐標為(0，0)． 　　方法2　設直線交y軸于點A，交直線y=x于點B，過點B作BM垂直于y軸，垂足為M，交DE于點N． 　　∵x=t平行于y軸，． 　　∵，解得． 　　∴B點坐標為，∴ 　　當x=0時，，∴A點坐標為(0，2)，∴OA=2． 　　∵為等腰直角三角，∴PE=DE或PD=DE或PE=PD． 　　如圖所示，若t＞0，PE=DE和PD=DE時，∴PE=t，PD=t 　　∵DE∥OA，∴， 　　．∴，∴ 　　當時，，． 　　P點坐標為或． 　　若t＞0,PD=PE時，即DE為斜邊， 　　∴DE=2MN=2t，∵DE∥OA∴∴．∴，∴MN=t=， 　　DE中點的縱坐標為． 　　∴P點坐標為． 　　如圖所示，若t＜0，PE=DE或PD=DE時， 　　∵DE∥OA，∴ 　　．DE=－4(不符合題意，舍去，)此時直線不存在． 　　若t＜0，PE=PD時，即DE為斜邊， 　　∴DE=2NM=－2t． 　　∵DE∥OA，，∴ 　　∴，∴MN=4 　　∴t=－4，．∴P點坐標為(0，0)． 　　綜上所述：時，為等腰直角三角形，此時P點坐標為或；當時，為等腰直角三角形，此時P點坐標為；當t=－4時，為等腰三角形，此時P點坐標為(0，0)．