Question

9．我們常常用符號(hào)f（x）表示x的函數(shù)，例如函數(shù)f（x）=x²-2x+1，則f（3）=3²-2x+1=4．
對(duì)于函數(shù)f（x），若存在a，b，f（x）滿足以下條件：
①當(dāng)a＜x＜x₀時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)值f（x）增大；
②當(dāng)x₀＜x＜b時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)值f（x）減小，則稱f（x₀）為f（x）的一個(gè)峰值．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x+1是否具有峰值；
（2）求函數(shù)f（x）=x²+4x+1的峰值；
（3）已知m為非零實(shí)數(shù)，當(dāng)x≤m時(shí)，函數(shù)y=m（x-1）²+2m²的圖象記為T₁：當(dāng)x＞m時(shí)，函數(shù)y=（m²-1）x+2m的圖象記為T₂：圖象T₁，T₂組成圖象T．圖象T所對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為f（x），若f（x）存在峰值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f（x）=x+1在其值域內(nèi)單調(diào)遞增，故不存在峰值；
（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線的頂點(diǎn)為它的峰值；
（3）結(jié)合系數(shù)的關(guān)系，可將整個(gè)x的取值分五段考慮，結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x+1在其值域內(nèi)單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）=x+1沒(méi)有峰值．
（2）函數(shù)f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，結(jié)合二次函數(shù)圖象可知：
當(dāng)x＜-2時(shí)，函數(shù)圖形遞減；當(dāng)-2＜x時(shí)，函數(shù)圖象遞增．
故f（-2）為函數(shù)f（x）=x²+4x+1的峰值，
f（-2）=（-2+2）²-3=3，
答：函數(shù)f（x）=x²+4x+1的峰值為-3．
（3）根據(jù)x-1=0、m=0和m²-1=0，將整個(gè)x的取值分五段考慮．
①當(dāng)m＜-1時(shí)，即m＜0，m²-1＞0，
此時(shí)圖象T₁單調(diào)遞增；圖象T₂單調(diào)遞增．
故當(dāng)m＜-1時(shí)，圖象T所對(duì)應(yīng)的函數(shù)f（x）無(wú)峰值；
②當(dāng)m=±1時(shí)，圖象T₂為平行x軸的一條射線，即在此區(qū)間f（x）為定值，
故當(dāng)m=±1時(shí)，圖象T所對(duì)應(yīng)的函數(shù)f（x）無(wú)峰值；
③當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，即m＜0，m²-1＜0，
此時(shí)圖象T₁單調(diào)遞增；圖象T₂單調(diào)遞減．
且當(dāng)x=m時(shí)，y=m（m-1）²+2m²=m³+m；y=（m²-1）m+2m=m³+m，即圖象T在m處連續(xù)．
故當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）存在峰值f（m）．
④當(dāng)0＜m＜1時(shí)，即m＞0，m²-1＜0，
此時(shí)圖象T₁單調(diào)遞減；圖象T₂單調(diào)遞減．
故當(dāng)0＜m＜1時(shí)，圖象T所對(duì)應(yīng)的函數(shù)f（x）無(wú)峰值；
⑤當(dāng)1＜m時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)y=m（x-1）²+2m²（x≤m）的圖象T₁可知：
當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)1＜x≤m時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
即f（1）是函數(shù)f（x）的峰值．
故當(dāng)1＜m時(shí)，圖象T所對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為f（x）有峰值f（1）．
綜上可知：若f（x）存在峰值，實(shí)數(shù)m的取值范圍為-1＜m＜0或1＜m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）一次函數(shù)具有單調(diào)性；（2）熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)；（3）分段考慮，并將一次函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（3）具有一定的難度，主要在于將m分類討論，失分點(diǎn)在于當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，要得出函數(shù)圖象T在m處連續(xù)．