Question

13．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+2b）x²-2$\sqrt{2ab}$x$+\frac{1}{4}$（a+2b）=0有實(shí)數(shù)根．
（1）若a=2，b=1，求方程的根．
（2）若m=a²+b²+5a，若b＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=2、b=1代入原方程中，利用直接開方法解一元二次方程即可得出結(jié)論；
（2）由b＜0、2ab≥0找出a的取值范圍，再根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，利用根的判別式△≥0找出a、b之間的關(guān)系，由此即可得出m關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合b的取值范圍即可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2、b=1時(shí)，原方程為4x²-4x+1=（2x-1）²=0，
解得：x=$\frac{1}{2}$．
答：若a=2，b=1，方程的根為$\frac{1}{2}$．
（2）∵2ab≥0，b＜0，
∴a≤0．
∵方程（a+2b）x²-2$\sqrt{2ab}$x$+\frac{1}{4}$（a+2b）=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=$（-2\sqrt{2ab}）^{2}$-4×（a+2b）×$\frac{1}{4}$（a+2b）=-（a-2b）²≥0，
∴a=2b，
∴m=a²+b²+5a=5b²+10b=5（b+1）²-5，
∵b＜0，
∴m≥-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用，能正確理解根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b²-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)b²-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)b²-4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．