Question

（2013•宜城市模擬）如圖Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，E、D分別是BC、AC上的點，且∠AED=45°
（1）求證：△ABE∽△ECD；
（2）若AB=4，BE=

2

，求AD長及△ADE的面積；
（3）當(dāng)BC=4，在BC上是否存在點E，使得△ADE為等腰三角形？若存在，請求出EC的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠B=∠C，∠BAE=∠CED，即可推出△ABE∽△ECD；
（2）求出BC=4

2

，EC=3

2

，證△ABE∽△ECD，求出CD=

3

2

，求出AD=

5

2

，過點E作EF⊥AD與F，求出EF=3，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（3）存在存在點E，使得△ADE為等腰三角形，由勾股定理求出AC=AB=2

2

，分三種情況討論：①當(dāng)AE=AD時，②當(dāng)AE=DE時，③當(dāng)AD=DE時，根據(jù)相似和等腰三角形性質(zhì)求出即可．

解答：（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED，∠AED=45°，
∴∠BAE=∠CED，
∴△ABE∽△ECD；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，
∴BC=

2

AB=4

2

，
∵BE=

2

，
∴EC=3

2

，
∵△ABE∽△ECD，
∴

AB

EC

=

BE

CD

，
∴

4

3 2

=

2

CD

，

∴CD=

3

2

，
∴AD=AC-CD=

5

2

，
過點E作EF⊥AD與F，
則∠CFE=90°，
∴∠C=45°=∠FEC，
∴EF=CF，
∵CE=3

2

，
∴EF=3，
∴S_△AED=

1

2

×

5

2

×3=

15

4

．

（3）解：存在存在點E，使得△ADE為等腰三角形，
理由是：∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，
∴由勾股定理得：AC=AB=2

2

，
分三種情況討論：①當(dāng)AE=AD（此時E和B重合）時，EC=BC=4；
②當(dāng)AE=DE時，
∵∠AED=45°，
∴∠AEB+∠DEC=135°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠CDE+∠DEC=135°，
∴∠CDE=∠AEB，
∵在△ABE和△ECD中

∠B=∠C ∠AEB=∠CDE AE=DE

∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴EC=AB=2

2

；
③當(dāng)AD=DE時，
∵∠AED=45°，
∴∠DAE=∠AED=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAE=45°=∠DAE，
∵AB=AC，
∴CE=BE=

1

2

BC=2，
即在BC上存在點E，使得△ADE為等腰三角形，EC的長是4或2

2

或2．

點評：本題考查了等腰三角形性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合運用，題目比較好，但是有一定的難度．