Question

4．在平面直角坐標系xOy中，點P在由直線y=x+2，直線y=-x+2和直線y=4所圍成的區(qū)域內或其邊界上，點M在x軸上，若點N的坐標為（5，1），當MN+MP最小時，點P坐標是（1，3）．

Answer 1

分析 如圖，作直線y=x+2關于x軸的對稱的直線y=-x-2，過點N作直線y=-x-2的垂線垂足為E，交x軸于M，則點E坐標（1，-3），點E關于x軸的對稱點P坐標（1，3），可以證明點P就是所求的點．

解答 解：如圖，作直線y=x+2關于x軸的對稱的直線y=-x-2，
過點N作直線y=-x-2的垂線垂足為E，交x軸于M，
則點E坐標（1，-3），點E關于x軸的對稱點P坐標（1，3），
此時MN+MP最短，
理由：∵MN+MP=MN+ME=NE，
∴MN+MP最短（垂線段最短）．
故點P坐標為（1，3），
故答案為（1，3）．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、垂線段最短等知識，解題的關鍵是作直線y=x+2關于x軸對稱的直線y=-x-2，理由垂線段最短解決問題，屬于作圖題目中比較難的題目．