Question

10．已知正方形ABCD，點(diǎn)E在直線AD上（不與點(diǎn)A、D重合），連接BE，做EF⊥BE，且EF=BE，過點(diǎn)F作FG⊥BC，交直線BC于點(diǎn)G．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)G在邊BC的延長線上時(shí)，如圖1，求證：AB+AE=BG；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊DA的延長線上，點(diǎn)G在邊BC上時(shí)，如圖2，試猜想AB、AE與BG的關(guān)系，并加以證明；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長線上，點(diǎn)G在邊BC上時(shí)，如圖3，請(qǐng)直接寫出線段AB，AE，BG之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．

Answer 1

分析 （1）延長AD交GF的延長線于M，根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△ABE≌△MEF，得到AB=EM，證明結(jié)論；
（2）證明△ABE≌△HEF，得到AB=EH，證明結(jié)論；
（3）證明△ABE≌△NEF，得到AB=EN，證明結(jié)論．

解答 （1）證明：延長AD交GF的延長線于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，∠ABC=90°，又FG⊥BC，
∴四邊形ABGM是矩形，
∴AM=BG，
∵∠A=90°，EF⊥BE，∠M=90°，
∴∠AEB=∠MFE，
在△ABE和△MEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠M}\\{∠AEB=∠MFE}\\{EB=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MEF，
∴AB=EM，
∵AM=AE+EM=AE+AB，
∴AB+AE=BG；
（2）AB-AE=BG．
證明：∵∠FEH+∠BEA=90°，∠BEA+∠ABE=90°，
∴∠FEH=∠ABE，
在△ABE和△HEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠EHF}\\{∠ABE=∠HEF}\\{EB=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△HEF，
∴EH=AB，
EH-AE═AB-AE=AH，
∵四邊形ABGH是矩形，
∴AH=BG，
∴AB-AE=BG；
（3）AE=AB+BG．
證明：由（2）得，△ABE≌△NEF，
∴NE=AB，
∵AN+NE=AN+AB=AE，BG=AN，
∴AE=AB+BG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意類比思想在解題中的靈活運(yùn)用．