Question

如圖，在△ABC中，AB=8，BC=10，cosC=

3

4

，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC交AC邊于點D，點E是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），F(xiàn)是AC邊上一點，且∠AEF=∠ABC，AE與BD相交于點G．
（1）求證：

AB

CE

=

BG

CF

；
（2）設BE=x，CF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當△AEF是以AE為腰的等腰三角形時，求BE的長．

Answer 1

考點：相似形綜合題,解一元二次方程-因式分解法,三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：壓軸題

分析：（1）要證

AB

CE

=

BG

CF

，只需證△ABG∽△ECF，只需證到∠BAG=∠CEF，∠ABG=∠C．由∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC可證到∠ABG=∠C；由∠AEF=∠ABC可證到∠BAG=∠CEF，問題解決．
（2）作FC的垂直平分線交BC于點M，交FC于點N，易證∠ABE=∠FME，從而可以證到△ABE∽△EMF，可得AB•MF=BE•EM．只需用x、y表示出FM、EM，問題就得以解決．
（3）當△AEF是以AE為腰的等腰三角形時，可分AE=EF和AE=AF兩種情況討論．當AE=EF時，由△ABE∽△EMF可得BE=MF，從而可以得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值；當AE=AF時，易證FE=FC，過點F作FH⊥BC，垂足為H，則有HC=

1

2

EC，結(jié)合cosC=

HC

FC

=

3

4

，就可得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值．

解答：（1）證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABD=∠C．
∵∠BAE+∠AEB+∠ABE=180°，
∠FEC+∠AEB+∠AEF=180°，
∠AEF=∠ABE，
∴∠BAE=∠FEC．
∵∠BAG=∠CEF，∠ABG=∠C，
∴△ABG∽△ECF．
∴

AB

CE

=

BG

CF

．
（2）解：作FC的垂直平分線交BC于點M，交FC于點N，如圖2，
則有NC=FN=

1

2

FC=

y

2

．
在Rt△MNC中，cosC=

NC

MC

=

3

4

，則MC=

2y

3

．
∵MN垂直平分FC，
∴MF=MC=

2y

3

．
∴∠MFC=∠C．
∴∠FME=∠MFC+∠C=2∠C．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=∠FME．
∵∠ABE=∠FME，∠BAE=∠FEM，
∴△ABE∽△EMF．
∴

AB

EM

=

BE

MF

．
∴AB•MF=BE•EM．
∵BE=x，BC=10，MC=

2y

3

，
∴EM=10-x-

2y

3

．
又∵AB=8，
∴8×

2y

3

=x（10-x-

2y

3

）．
∴y=

30x-3x2

2x+16

．（0＜x＜10）
（3）解：①EA=EF，如圖3，
∵△ABE∽△EMF（已證），
∴

BE

MF

=

AE

EF

．
∵EA=EF，
∴BE=MF．
∵BE=x，MF=

2y

3

，
∴x=

2y

3

．
∴y=

3

2

x．
∴

30x-3x2

2x+16

=

3

2

x．
整理得：x²+4x-5=0．
則有（x+5）（x-1）=0．
解得：x₁=-5（舍），x₂=1．
②AE=AF，
過點F作FH⊥BC，垂足為H，如圖4，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE．
∵∠AEF=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠AFE=2∠C．
∵∠AFE=∠FEC+∠C，
∴∠FEC=∠C．
∴FE=FC．
∵FH⊥EC，
∴EH=CH=

1

2

EC．
∵EC=10-x，
∴HC=

10-x

2

．
在Rt△FHC中，cosC=

HC

FC

=

3

4

．
∴4HC=3FC．
∴4×

10-x

2

=3y．
∴y=

20-2x

3

．
∴

30x-3x2

2x+16

=

20-2x

3

．
整理得：5x²-82x+320=0．
則有（5x-32）（x-10）=0．
∴x₁=6.4，x₂=10．
∵0＜x＜10，
∴x=6.4．
綜上所述：當△AEF是以AE為腰的等腰三角形時，BE的長為1或6.4．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、用因式分解法解一元二次方程、銳角三角函數(shù)的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識，綜合性非常強．而作FC的垂直平分線交BC于點M，進而證到△ABE∽△EMF是解決第二小題和第三小題的關(guān)鍵．