Question

已知：如圖，在△ABC中，D為BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BE=CF．
（1）求證：DE=DF；
（2）若AB=8cm，DE=2cm，求△ABC的面積．

Answer 1

（1）證明：如圖，∵D為BC的中點，
∴BD=CD．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴在Rt△BED與Rt△CFD中，，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF；

（2）解：如圖，連接AD．
由（1）知，DE=DF=2cm，
又∵AC=AB=8cm，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=AB•DE+AC•DF=16cm²．
分析：（1）利用HL證得Rt△BED≌Rt△CFD，則由“全等三角形的對應邊相等”證得結論；
（2）利用（1）中的結論和三角形的面積公式得到S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=AB•DE+AC•DF=16cm²．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．