Question

（2012•德化縣模擬）如圖，已知：△ABC是邊長為2

3

的等邊三角形，四邊形DEFG是邊長為3的正方形．現(xiàn)將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以每秒

1

2

個單位長度的速度沿EF方向向右勻速運動，當(dāng)點C與點F重合時暫停運動，設(shè)△ABC的運動時間為t秒（t≥0）．
（1）在運動過程中，設(shè)AC交DE于點P，PE=

3

2

t；
（2）在整個運動過程中，設(shè)等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S，
①當(dāng)t為何值時，S等于△ABC面積的三分之一；
②當(dāng)點A在DG上運動時，請求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍；
（3）如圖2，若四邊形DEFG是邊長為2

3

的正方形，△ABC的移動速度為每秒

3

2

個單位長度，其余條件保持不變．△ABC開始移動的同時，Q點從F點開始，沿折線F-G-D以每秒

3

個單位長度開始移動，△ABC停止運動時，Q點也停止運動．設(shè)在運動過程中，DE交折線B-A-C于P點，則是否存在t的值，使得PC與EQ互相垂直？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用△ABC運動速度以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和等邊三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）①利用三角形的面積公式可以表示出0≤t＜2

3

時重疊部分的面積進(jìn)而得出S等于△ABC面積的三分之一時t的值；
②利用三角形的面積公式可以表示出2

3

≤t≤6時重疊部分的面積；
（3）再運動中當(dāng)0≤t＜2時，如圖2，△PEC∽△EFQ，可以求出t值；當(dāng)2≤t≤4時，如圖3，△PEC∽△QDF，可以求出t值．

解答：解：（1）∵EC=

1

2

t，∠PCE=60°，
∴PE=EC×tan60°=

3

2

t，
故答案為：

3

2

；

（2）依題意得：EC=

1

2

t，
①當(dāng)0≤t＜2

3

時，S=

1

2

EC•PE=

3

8

t2
易求得等邊三角形ABC的高為3，
∴S_△ABC=

1

2

×2

3

×3=3

3

，
∵S=

1

3

S_△ABC
∴

3

8

t2=

1

3

×3

3

解得t=2

2

；
②當(dāng)0≤t＜2

3

時，
S=

1

2

EC•PE=

3

8

t2；
當(dāng)2

3

≤t≤6時，
S=S_△ABC-S_△BPE=3

3

-

1

2

BE×PF
=3

3

-

1

2

×（2

3

-

1

2

t）（2

3

-

1

2

t）×

3

=-

3

8

t²+3t-3

3

；

（3）存在，
當(dāng)∠EPC=∠FEQ時，PC與EQ互相垂直，
當(dāng)0≤t＜2時，如圖2，
∵∠QEF+∠ECP=90°，
∠QEF+∠EQF=90°，
∴∠ECP=∠EQF，
又∵∠PEC=∠F=90°，
∴△PEC∽△EFQ，
∴

PE

EF

=

EC

FQ

即

3 2 t

2 3

=

3 2 t

3 t

，
解得：t=

2

3

3

；
當(dāng)2≤t＜4時，如圖3，
∵∠DQE+∠DEQ=90°，
∠CPE+∠PEQ=90°，
∴∠DQE=∠EPC，
又∵∠PEC=∠D=90°，
∴△PEC∽△QDE，
∴

PE

QD

=

EC

DE

即

(2 3 - 3 2 t) 3

4 3 - 3 t

=

3 2 t

2 3

，
化簡得：t²-（4+2

3

）t+8

3

=0，
解得：t₁=4，t₂=2

3

，
∴當(dāng)t=

2

3

3

，4或2

3

時，PC與EQ互相垂直．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的運用，利用分段函數(shù)性質(zhì)求出是解題關(guān)鍵．