Question

14．如圖，五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分別找一點M、N，使△AMN的周長最小，則△AMN的周長的最小值為（　　）

• A． 2$\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{7}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和ED的對稱點A′，A″，連接A′A″即可得出最短路線，再利用勾股定理計算即可．

解答 解：作A關于BC和ED的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交ED于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．
過點A′作EA延長線的垂線，垂足為H，
∵AB=BC=1，AE=DE=2，
∴AA′=2BA=2，AA″=2AE=4，
則Rt△A′HA中，∵∠EAB=120°，∴∠HAA′=60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AA′=1，
∴A′H=$\sqrt{3}$，
A″H=1+4=5，
∴A′A″=$\sqrt{A′{H}^{2}+HA{″}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
故選B．

點評 本題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及勾股定理的應用，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出M，N的位置是解題關鍵，注意軸對稱的性質(zhì)和勾股定理的正確運用．