Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線(xiàn)，其圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，且過(guò)點(diǎn)C（0，﹣3），其頂點(diǎn)為D．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在y軸上找一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合），使得∠APD=90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，將△APD沿直線(xiàn)AD翻折得到△AQD，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸x=1，則﹣ =1，b=﹣2．

又二次過(guò)點(diǎn)C（0，﹣3），

∴﹣3=c，c=﹣3．

即二次函數(shù)解析式為：y=x2﹣2x﹣3

由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，得

頂點(diǎn)坐標(biāo)D為：（1，﹣4）；

（2）

解：解法一：設(shè)P（0，m）

由題意，得PA= ，PD= ，AD=2 ，

∵∠APD=90°，∴PA2+PD2=AD2，即（ ）2+（ ）2=（2 ）2

解得m1=﹣1，m2=﹣3（不合題意，舍去）．

∴P（0，﹣1）；

解法二：

如圖，作DE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，

則由題意，得 DE=1，OE=4…

由∠APD=90°，得∠APO+∠DPE=90°，

由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，

∴∠OAP=∠EPD

又∠AOP=∠OED=90°，

∴△OAP∽△EPD

∴ = ，

設(shè)OP=m，PE=4﹣m

則 = ，

解得m1=1，m2=3（不合題意，舍去），

∴P（0，﹣1）；

（3）

解：解法一：

如圖，作QH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，易得PA=AQ=PD=QD= ，∠PAQ=90°，

∴四邊形APDQ為正方形．

由∠QAP=90°，得∠HAQ+∠OAP=90°，由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，

∴∠OPA=∠HAQ，又∠AOP=∠AHQ=90°，PA=QA

∴△AOP≌△AHQ，

∴AH=OP=1，QH=OA=3．

∴Q（4，﹣3）；

解法二：

設(shè)Q（m，n），

則AQ= = ，QD= = ，

解得 ， （不合題意，舍去），

∴Q（4，﹣3）．

【解析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的定義求得b=﹣2，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得c=﹣3；將一般式方程轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式方程即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）設(shè)P（0，m），由勾股定理分別表示PA，PD，AD的長(zhǎng)，由于∠APD=90°，在Rt△PAD中，由勾股定理列方程求m的值即可；（3）作QH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，由勾股定理求出PA=PD= ，又∠PAQ=90°，可證△PAD為等腰直角三角形，由翻折的性質(zhì)可知四邊形APDQ為正方形，得出△AOP≌△AHQ，利用線(xiàn)段相等關(guān)系求Q點(diǎn)坐標(biāo)．