Question

如圖，已知BC為半圓O的直徑，

AB

=

AF

，AC與BF交于點M．過點A作AD⊥BC于點D交BM于點E，若EM=

5

4

，

ED

BD

=

3

4

，求CD的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：由條件可得出∠EBA=∠EAB，得到AE=BE=EM，在Rt△BDE中可求得BE和BD，從而可求得AD，且容易證明△ABD∽△CAD，可得到AD²=BD•CD，可求得CD．

解答：解：
∵

AB

=

AF

，
∴∠ACB=∠EBA，
∵AB為直徑，AD⊥BC，
∴∠ACB+∠DAC=∠BAE+∠DAC=90°，
∴∠BAE=∠ACB，
∴∠EBA=∠EAB，
∵∠BAE+∠EAM=∠EMA+∠ABE，
∴∠EAM=∠EMA，
∴AE=BE=EM=

5

4

，
∵

ED

BD

=

3

4

，
設(shè)ED=3x，BD=4x，在Rt△BDE中由勾股定理可得ED²+BD²=BE²，
即（3x）²+（4x）²=（

5

4

）²，解得x=

1

4

或-

1

4

（舍去），
∴DE=

3

4

，BD=1，AD=

3

4

+

5

4

=2，
在△ABD和△CAD中，∠ADB=∠CDA，∠BAD=∠ACD，
∴△ABD∽△CAD，
∴

AD

CD

=

BD

AD

，即

2

CD

=

1

2

，
∴CD=4．

點評：本題主要考查圓周角定理和等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，先求得AE=BE=EM是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．