Question

6．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在斜邊AB上取一點D，過點D作DE∥BC，交AC于點E，現(xiàn)將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點D在△ABC的內(nèi)部），使得∠ABD+∠ACD=90°．

（1）①求證：△ABD∽△ACE；
②若CD=1，BD=$\sqrt{6}$，求AD的長．
（2）如圖3，將原題中的條件“AC=BC”去掉，其它條件不變，設(shè)$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=k，若CD=1，BD=2，AD=3，求k的值．
（3）如圖4，將原題中的條件“∠ACB=90°”去掉，其它條件不變，若$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{5}$，設(shè)CD=m，BD=n，AD=p，試探究m，n，p三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）

Answer 1

分析 （1）①先利用平行線分線段成比例定理得，$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，進(jìn)而得出結(jié)論；
②利用①得出的比例式求出CE，再判斷出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法判斷出△ABD∽△ACE，即可得出AE=3k，CE=2k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；
（3）同（2）的方法得出DE²=m²+$\frac{9}{25}$n²，而DE=AE=$\frac{3}{5}$p，即可得出結(jié)論；

解答 解：（1）①∵DE∥BC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt△ABC中，AC=BC，
∴AB=$\sqrt{2}$AC，
由①知，△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$=$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{2}$AE，BD=$\sqrt{2}$CE，
∵BD=$\sqrt{6}$，
∴CE=$\sqrt{3}$，
在Rt△CDE中，CD=1，CE=$\sqrt{3}$，
根據(jù)勾股定理得，DE=2，
在Rt△ADE中，AD=AE，
∴AD=$\sqrt{2}$DE=2$\sqrt{2}$，

（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，
∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$
∴△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{CE}{BD}$=k，
∵AD=3，BD=2，
∴AE=kAD=3k，CE=kBD=2k，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE²=CD²+CE²=1+4k²，
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=9-9k²，
∴1+4k²=9-9k²，
∴k=-$\frac{2\sqrt{26}}{13}$（舍）或k=$\frac{2\sqrt{26}}{13}$；

（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，
∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$
∴△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{CE}{BD}$=$\frac{3}{5}$
∵AD=p，BD=n，
∴AE=$\frac{3}{5}$AD=$\frac{3}{5}$p，CE=$\frac{3}{5}$BD=$\frac{3}{5}$n，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE²=CD²+CE²=m²+$\frac{9}{25}$n²，
∵DE=AE=$\frac{3}{5}$p，
∴$\frac{9}{25}$p²=m²+$\frac{9}{25}$n²，
∴9p²=25m²+9n²．

點評 此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°和利用兩邊對應(yīng)成比例夾角相等來判斷兩三角形相似的方法應(yīng)用，還用到類比的方法解決問題．