Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D在x軸上，⊙D與y軸相切于原點(diǎn)O，與x軸交于點(diǎn)E，與直線(xiàn)y=-

3

3

x+1相切于F點(diǎn)，該直線(xiàn)與y軸、x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，求由

EF

和線(xiàn)段FB、EB所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)的性質(zhì),勾股定理,切線(xiàn)的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：連結(jié)DF，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，先利用直線(xiàn)解析式確定A（0，1、B（

3

，0），再利用勾股定理計(jì)算出AB=2，則∠ABO=30°，接著根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到OD=r，DF⊥AB，
然后在Rt△BDF中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BD=2DF=2r，BF=

3

DF=

3

r，且∠BDF=60°，由于OD+BD=OB，即r+2r=

3

，解得r=

3

3

，所以DF=

3

3

，BF=1，
然后根據(jù)扇形面積公式和陰影部分的面積=S_△BDF-S_扇形EDF進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：連結(jié)DF，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-

3

3

x+1=1，則A（0，1）；當(dāng)y=0時(shí)，-

3

3

x+1=0，解得x=

3

，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，0），
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=2，
∴∠ABO=30°，
∵⊙D與y軸相切于原點(diǎn)O，與直線(xiàn)y=-

3

3

x+1相切于F點(diǎn)，
∴OD=r，DF⊥AB，
在Rt△BDF中，∵∠DBF=30°
∴BD=2DF=2r，BF=

3

DF=

3

r，∠BDF=60°，
而OD+BD=OB，
∴r+2r=

3

，解得r=

3

3

，
∴DF=

3

3

，BF=1，
∴陰影部分的面積=S_△BDF-S_扇形EDF
=

1

2

•

3

3

•1-

60•π•( 3 3 )2

360

=

3 3 -π

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y=kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時(shí)，（0，b）在y軸的正半軸上，直線(xiàn)與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時(shí)，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線(xiàn)與y軸交于負(fù)半軸．也考查了切線(xiàn)的性質(zhì)和扇形的面積公式．