Question

20、如圖，直徑為13的⊙O‘經過原點O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB（OA＞OB）的長分別是方程x²+kx+60=0的兩根．
（1）求線段OA、OB的長；
（2）已知點C在劣弧OA上，連接BC交OA于D，當OC²=CD•CB時，求C點的坐標；
（3）在⊙O‘上是否存在點P，使S_△POD=S_△ABD．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關系寫出OA+OB和OA•OB的值．連接AB，根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，再結合勾股定理列方程求解．
（2）若OC²=CD•CB，則三角形OCB相似于三角形DCO，則∠COD=∠CBO．又∠COD=∠CBA，則∠CBO=∠CBA，所以點C是弧OA的中點．連接O′C，根據(jù)垂徑定理的推論，得O′C⊥OA．再進一步根據(jù)垂徑定理和勾股定理進行計算即可．
（3）連接OD，根據(jù)S_△ABD=2S_△OBD．則需S_△POD=2S_△OBD．顯然是不可能的．

解答：解：（1）連接AB，∵∠BOA=90°，
∴AB為直徑，根與系數(shù)關系得OA+OB=-k，OA•OB=60；
根據(jù)勾股定理，得OA²+OB²=169，
即（OA+OB）²-2OA•OB=169，
解得k²=289，∴k=±17（正值舍去）．
則有方程x²-17x+60=0，x=12，或5．
又OA＞OB，
∴OA=12，OB=5．
（2）若OC²=CD•CB，則△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
所以點C是弧OA的中點．
連接O′C交OA于點E，根據(jù)垂徑定理的推論，得O′C⊥OA，
根據(jù)垂徑定理，得OE=6，
根據(jù)勾股定理，得O′E=2.5，
∴CE=4，即C（6，-4）．
（3）連接OD，根據(jù)S_△ABD=2S_△OBD，
則需S_△POD=2S_△OBD，
顯然是不可能的．

點評：綜合運用了相似三角形的判定和性質、圓周角定理的推論、勾股定理以及垂徑定理及其推論．