Question

如圖1，在邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別是BC、DC邊上的點，且AE⊥EF，BE=2．
（1）求EC：CF的值；
（2）延長EF交正方形外角平分線CP于點P（如圖2），試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說明理由；
（3）若將“邊長為5的正方形”改為“BC長為m（m＞2），AB長為n（n＞2），的矩形”，其他條件不變，試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠1=∠2，即可證得：△ABE∽△EFC，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得EC：CF的值；
（2）首先作輔助線：在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，利用ASA，易證得：△AME≌△PCE，則可證得：AE=EP；
（3）根據(jù)（2）中的證明方法，可以證得：△AME∽△ECP，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得：AE與EP的大小關(guān)系．

解答：解：（1）∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1=∠2，
∴△ABE∽△ECF，
∴EC：CF=AB：BE=5：2；

（2）在AB上取一點M，使BM=BE，連接ME．
∴AM=CE．
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°．
∵CP是外角平分線，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°．
∴∠AME=∠ECP．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
∴△AME≌△PCE（ASA）．
∴AE=EP．

（3）
作PN⊥BC于點N．
△ABE∽△ECF
∴

AB

EC

=

BE

CF

即

n

m-2

=

2

CF

∴CF=

2(m-2)

n

設(shè)PN=x，則EN=m-2+x．
∵PN∥CF
∴△EFC∽△EPN
∴

CF

PN

=

EC

EN

，即

2(m-2) n

x

=

m-2

m-2+x

解得：x=

2m-4

n-2

∵△ABE∽△ENP
∴

AE

EP

=

AB

EN

=

n

m-2+ 2m-4 n-2

=

n(n-2)

(m-2)(n-2)+2m-4

=

n-2

m-2

，
當(dāng)m=n＞2時，AE=EP，
當(dāng)n＞m＞2時AE＞EP，
當(dāng)m＞n＞2時，AE＜EP．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇．