Question

9．如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都為1．
（1）求證：∠ADC=90°；
（2）求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AD²、CD²的長(zhǎng)，得出AD²+CD²=AC²，根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明∠ADC=90°；
（2）由勾股定理求出AB、BC的長(zhǎng)，由（1）得出AD、CD的長(zhǎng)，將四邊相加即可得出四邊形ABCD的周長(zhǎng)；根據(jù)四邊形ABCD的面積=大正方形的面積-4個(gè)直角三角形的面積，列式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：由勾股定理得：AD²=1²+2²=5，CD²=4²+2²=20，
∴AD²+CD²=5+20=25，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°；
（2）解：由勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵AD²=5，CD²=20，
∴AD=$\sqrt{5}$，CD=2$\sqrt{5}$，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$+2$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$+3$\sqrt{5}$；
四邊形ABCD的面積=5×5-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×1=12.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形和四邊形面積的計(jì)算；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．